Schicht studierte ab 1776 Rechtswissenschaft in Leipzig. Er wirkte als Begleiter und Violinist in den von Hiller veranstalteten Konzerten (Großes Concert), später auch im Leipziger Gewandhaus mit. Im Jahr 1785 übernahm er die Stelle als Gewandhauskapellmeister. Ein Jahr später heiratete er Constanza Alessandra Oktavia Valdesturia, die bereits drei Jahre später verstarb. Von den vier aus der Ehe entstammenden Töchter verstarben bis auf Henriette Wilhelmine drei frühzeitig. Johann Gottfried Schicht war zudem Musikdirektor der Neukirche und gründete 1802 die Leipziger Singakademie.
Die Stelle des Gewandhauskappellmeisters hatte er bis 1810 inne. Danach war er bis zu seinem Tode im Jahr 1823 Thomaskantor. Einer seiner Schüler war der Komponist Carl Gottlieb Hering.